Persamaan Lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

Gambar dibawah ini menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.

A. Persamaan Lingkaran

1. Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari r

Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y.

Jarak dari O (0, 0) ke P (x, y) adalah.

Berdasarkan rumus Pythagoras

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2

Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5

Jawab :

2. Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).

Kita peroleh persamaan.

Persamaan lingkaran menjadi (x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah (x- a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh 1 :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4

Jawab :

Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

(x- 3)2 + (y – 2)2 = 42

(x- 3)2 + (y – 2)2 = 16

Contoh 2 :

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)

Jawab :

Pusat (2, 3) maka a = 2 dan b = 3

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

(x- 2)2 + (y – 3)2 = 252

B. Bentuk umum persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah

(x- a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2+ y2 – 2ax – 2by + a2+ b2– r2 = 0 atau x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Contoh :

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 – 4x +2y – 20= 0

Jawab :

A = -4, B = 2, dan C = -20

B. Kedudukan Titik dan Garis Pada Lingkaran

Kedudukan Titik Pada Lingkaran

Letak K (m,n) terhadap X²+Y² +Ax + By +C= 0 , ditentukan oleh nilai kuasa titik tersebut terhadap lingkaran

nilai kuasa K = m²+n² +Am + Bn +C,

K < 0 di dalam lingkaran
K= 0 pada lingkaran
K > 0 di luar lingkaran

Contoh 1:
Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran X²+y² -8x -10y +16 =0 dan gambarlah

a. H(-3,9) b L(7,9), c M(10,5), d N(1,7)

Jawaban:

H(-3,9) K = (-3)²+9² -8.(-3) -10.9 +16 = 40, K > 0, diluar lingkaran

L(7,9) K = (7)²+9² -8.(7) -10.9 +16 = 0, K = 0, pada lingkaran

M(10,5) K = (10)²+5² -8.(10) -10.5 +16 = 11, K > 0, diluar lingkaran

N(1,7) K = 12+72 -8.(1) -10.7 +16 = -12, K < 0, didalam lingkaran

Contoh 2:
Diketahui sebuah lingkaran X²+y² -2x +6y -15 =0 dan sebuah titik S(m,1), tentukan batas nilai m agar

titik S didalam lingkaran
titik S diluar lingkaran

Jawaban:

S(m,1) K	= kuasa
	= m2 +12 - 2m +6.1 - 15
	= m2 - 2m - 8

a.	Syarat di dalam lingkaran, K< 0 m2 -2m -8 <0 (m-4)(m+2)=0
	m=-2 atau m=4
	didalam lingkaran jika -2 < m <4 ( daerah - - - )
	diluar lingkran, K >0, jika m<-2 atau m >4 (daerah ++ )

Kedudukan Garis Pada Lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.

Lihat diskriminannya:

D=b^2-4 ac

Jika

D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

Tentukan posisi garis:
- $y= x+10$ terhadap lingkaran $x^2+y^2= 9$

Jawab:

x^2 + (x+10)^2=9

x^2+ (x^2+20x+100)-9=0

2x^2 +20x+91=0

D=b^2-4 ac

D=20^2- 4\times 91 \times 2

D= 400-728= -328

Karena

D<0

, maka garis berada di luar lingkaran.

Contoh 2:

Tentukan p agar garis $y= -x+p$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ !

Jawab:

x^2+ (-x+p)^2 - 2x- 4(-x+p)+ 3=0

2x^2 - 2px + p^2 - 2x + 4x -4p + 3=0

2x^2 + (2-2p)x + p^2 -4p + 3=0

syarat:

D<0

(2-2p)^2-4(2)(p^2-4p+3)<0

4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0

-4p^2+24p-20<0

-4(p^2-6p+5)<0

-4(p-5)(p-1)<0

p=5

atau

p=1

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p:

p<1

atau

p>5

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Jika persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

x_1x + y_1y = r^2

Jika persamaan lingkaran $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

(x_1-x_p)(x-x_p) + (y_1-y_p)(y-y_p) = r^2

Jika persamaan lingkaran berbentuk $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ , maka persamaan garis singgungnya:

x_1x + y_1y + \frac {1}{2} A(x+x_1) + \frac {1}{2} B(y+y_1)+C=0

Persamaan lingkaran

x^2 + y^2 + Ax + By + C =0

dapat juga diubah menjadi

(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2

dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Rumus:

y = mx \pm r \sqrt {m^2+1}

atau

y-y_p = m (x-x_p) \pm r \sqrt {m^2+1}

Jika diketahui titik

Jika diketahui gradien

Contoh soal :

Soal No. 1
Diberikan persamaan lingkaran:

L ≡ x² + y² = 25.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki titik singgung di (−4, 3).

Pembahasan
Menentukan garis singgung pada suatu lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dan diketahui titik singgungnya.

Lingkaran L ≡ x² + y² = r²
Titik singgung (x₁, y₁)

Persamaan garis singgungnya adalah:

Dengan x₁ = − 4 dan y₁ = 3, persamaan garisnya:
−4x + 3y = 25
3y −4x − 25 = 0

Soal No. 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik (3, −2) adalah....
A. 2x − 3y = −13
B. 2x − 3y = 13
C. 3x − 2y = − 14
D. 3x − 2y = 13
E. 3x + 2y = 13
(Garis singgung lingkaran - uan 2002)

Pembahasan
Titik yang diberikan adalah (3, −2), dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam, di luar atau pada lingkaran. Cek terlebih dahulu,
(3, −2) → x² + y²
= 3² + (−2)² = 9 + 4
= 13

Hasilnya ternyata sama dengan 13 juga, jadi titik (3, −2) merupakan titik singgung. Seperti nomor 1:

Soal No. 3
Diberikan persamaan lingkaran L ≡ x² + y² = 25. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang memiliki gradien sebesar 3.

Pembahasan
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dengan diketahui gradien garis singgungnya.

Soal No. 4
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y − x + 3 = 0 adalah....
A. y = −¹/₂ x + ⁵/₂√5
B. y = ¹/₂ x − ⁵/₂√5
C. y = 2x − 5
D. y = −2x + 5√5
E. y = 2x + 5
(Garis singgung Lingkaran - un 2005)

Pembahasan
Garis 2y − x + 3 = 0 memiliki gradien sebesar ¹/₂. Garis lain yang tegak lurus dengan garis ini harus memiliki gradien − 2. Ingat pelajaran SMP 8, jika dua garis saling tegak lurus maka berlaku

m₁ ⋅ m₂ = − 1

Sehingga persamaan garis singgung di lingkaran x² + y² = 25 yang memiliki gradien −2 adalah:

Jadi persamaan garis singgungnya bisa y = −2x + 5√5 bisa juga y = −2x − 5√5, pilih yang ada.

Soal No. 5
Diberikan persamaan lingkaran:

L ≡ (x − 2)² + (y + 3)² = 25

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan titik singgung pada (5, 1).

Pembahasan
Persamaan garis singgung pada lingkaran:

L ≡ (x − a)² + (y − b)² = r²

pada titik singgung (x₁, y₁)

dengan
a = 2 dan b = −3 dan r² = 25

maka persamaan garisnya

Soal No. 6
Diberikan persamaan lingkaran:

L ≡ (x − 2)² + (y + 3)² = 25

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang sejajar dengan garis y = 2x + 3.

Pembahasan
Garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a, b) diketahui gradien m

Garis singgung yang diminta sejajar dengan garis y = 2x + 3 sehingga gradiennya sama yaitu 2.

Soal No. 7
Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 220 = 0 yang sejajar dengan garis 5 y + 12x + 8 = 0 adalah...
A. 12 x + 5y − 197 = 0 dan 12x + 5y + 195 = 0
B. 12 x + 5y + 197 = 0 dan 12x + 5y − 195 = 0
C. 5 x + 12y + 197 = 0 dan 5x + 12y + 195 = 0
D. 5x + 12y − 197 = 0 dan 5x + 12y − 195 = 0
E. 12 x − 5y − 197 = 0 dan 12x − 5y + 195 = 0

Pembahasan
Lingkaran x² + y² − 2x + 4y − 220 = 0 memiliki pusat:

dan jari-jari

Gradien garis singgungnya sejajar dengan 5 y + 12x + 8 = 0, jadi gradiennya adalah −12/5.

Persamaannya:

Sehingga dua buah garis singgungnya masing-masing adalah

Soal No. 8
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 di titik (5, 3) adalah....
A. 3x − 4y + 27 = 0
B. 3x + 4y − 27 = 0
C. 3x + 4y − 27 = 0
D. 7x+ 4y − 17 = 0
E. 7x + 4y − 17 = 0
(UN 2005)

Pembahasan
Titik singgung : (x₁, y₁)
pada lingkaran : L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0

Rumus garis singgungnya:

Data:
x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0
Titik (5, 3)

A = −4
B = 2
C = − 20
x₁ = 5
y₁ = 3

Garis singgungnya:

Soal No. 9
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah….
A. 3x − 4y − 41 = 0
B. 4x + 3y − 55 = 0
C. 4x − 5y − 53 = 0
D. 4x + 3y − 31 = 0
E. 4x − 3y − 40 = 0
(un 2011)

Pembahasan
Data soal:
L ≡ x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0
A = −6
B = 4
C = − 12

(7, 1)
x₁ = 7
y₁ = 1

Rumus sebelumnya, diperoleh garis singgung lingkaran:

Soal No. 10
Lingkaran L ≡ (x + 1)² + (y − 3)² = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah...
A. x = 2 dan x = − 4
B. x = 2 dan x = − 2
C. x = − 2 dan x = 4
D. x = − 2 dan x = − 4
E. x = 8 dan x = − 10
(Garis singgung lingkaran - un 2009 dan un 2012)

Pembahasan
Data soal:
Polanya:
L ≡ (x − a)² + (y − b)² = r²
Pusatnya (a, b)

L ≡ (x + 1)² + (y − 3)² = 9
a = −1
b = 3

y = 3 memotong lingkaran ini, masukkan nilai y ke persamaan, ketemu nilai x, dengan demikian titik-titik singgungnya akan diketahui.

(x + 1)² + (y − 3)² = 9
(x + 1)² + (3 − 3)² = 9
(x + 1)² + 0 = 9
(x + 1)² = 9
(x + 1) = ±3

x + 1 = 3
x = 2

x + 1 = −3
x = −4

Titik singgungnya: ( −4, 3) dan (2, 3)

Untuk titik singgung (x₁, y₁) = ( −4, 3) dengan pusatnya tadi (a, b) = (−1, 3)