Tuesday, June 9, 2015

Bab I Statistika


Statistika Matematika

Pelajaran Statistika di tingkat SMA meliputi mean, modus, median, jangkauan, simpangan, dan ragam
1. Rumus Rataan Hitung (Mean) 
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.
a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal 

b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi

Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i
c) Rumus Rataan Hitung Gabungan
Contoh soal :
1.) Seorang peneliti mencatat banyak bayi yang lahir selama setahun di 20 kecamatan. Hasil pencatatannya disajikan berikut.

136 140 220 193 130 158 242 127 184 213
200 131 111 160 217 281 242 242 281 192

 Hitunglah rataan hitung (mean) data tersebut.

Penyelesaian :

rataan hitung bayi lahir

Perhatikan data berikut.

nilai ujian
3
4
5
6
7
8
9
frekuensi
3
5
12
17
14
6
3


2.) Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata dikurangi 1. Dari data di atas, yang lulus adalah :

Penyelesaian :
nilai rata-rata datum frekuensi
Siswa dinyatakan lulus jika nilainya lebih dari :

6,07 – 1 = 5,07.

Jadi, jumlah yang lulus adalah :

= 17 + 14 + 6 + 3 = 40 orang.


a. Data yang belum dikelompokkan
Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan
Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya
Contoh soal :

1.)Tentukan modus dari data berikut ini.

a. 45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80
b. 50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90
c. 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60

Pembahasan :

a. Oleh karena nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tiga kali muncul), modusnya adalah 70.
b. Oleh karena nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitu dua kali muncul), modusnya adalah 65 dan 73 (tidak tunggal).
c. Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak mempunyai modus 


2.)Tabel 3. menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71 siswa Kelas XI SMA Bhinneka. Tentukan modus dari data tersebut.

Interval Kelas
Frekuensi
40 – 44
2
45 – 49
2
50 – 54
6
55 – 59
8
60 – 64
10
65 – 69
11
75 – 79
6
80 – 84
4
85 – 89
4
90 – 94
3

Oleh karena kelas ke-7 mempunyai frekuensi terbesar (frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus.

i = 44,5 – 39,5 = 5
L = Batas bawah nyata kelas ke-7 = 69,5 (tepi bawah kelas)
d1 = 15 – 11 = 4
d2 = 15 – 6 = 9

Jadi,
perhitungan modus



a) Data yang belum dikelompokkan
Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar. 

b) Data yang Dikelompokkan

Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data
Contoh soal

1.)Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data berikut.

67
86
77
92
75
70
63
79
89
72
83
74
75
103
81
95
72
63
66
78
88
87
85
67
72
96
78
93
82
71

Urutkan data dari kecil ke besar hasilnya sebagai berikut.

No. Unit Data (xi)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nilai Data
63
63
66
67
67
70
71
72
72
72


No. Unit Data (xi)
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Nilai Data
74
75
75
77
78
78
79
81
82
83


No. Unit Data (xi)
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Nilai Data
85
86
87
88
89
92
93
95
96
103


kuartil atas bawah median


2.)Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data pada Tabel. 4.

Interval Kelas
Frekuensi
40 – 44
2
45 – 49
2
50 – 54
6
55 – 59
8
60 – 64
10
65 – 69
11
70 – 74
15
75 – 79
6
80 – 84
4
85 – 89
4
90 – 94
3

Kunci Jawaban :


Kelas Interval
Frekuensi
Frekuensi Kumulatif

40 – 44
2
2

45 – 49
2
4

50 – 54
6
10
Q
55 – 59
8
18

60 – 64
10
28
Q
65 – 69
11
39
Q3 
70 – 74
15
54

75 – 79
6
60

80 – 84
4
64

85 – 89
4
68

90 – 94
3
71

kuartil atas data kelompok

Jadi, kelas Q1 ada di kelas ke-4 (kelas 55 – 59)

median data kelompok
Jadi, kelas Q2 ada di kelas ke-6 (kelas 65 – 69)

kuartil bawah data kelompok
Jadi, kelas Q3 ada di kelas ke-7 (kelas 70 – 74)

Dengan demikian, Q1 , Q2 , Q3 dapat ditentukan sebagai berikut.

perhitungan kuartil atas bawah median data kelompok



4. Rumus Jangkauan ( J )
Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.
1.)Tentukan Jangkauan!

Interval Kelas
Frekuensi
40 – 44
2
45 – 49
2
50 – 54
6
55 – 59
8
60 – 64
10
65 – 69
11
70 – 74
15
75 – 79
6
80 – 84
4
85 – 89
4
90 – 94
3

Penyelesaian :
Xmax = 92
Xmin = 42

92-42 = 50

5. Rumus Simpangan Quartil 
Contoh Soal :

1.) Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data berikut.
20     35     50     45     30     30     25     40     45     30     35

Penyelesaian:
Ingat hal pertama yang Anda lakukan adalah mengurutkan data tersebut untuk mencari kuartil atas dan kuartil bawahnya, yakni sebagai berikut.

Jadi, kuartil bawah (Q1) dan kuartil atas (Q3) dari data tersebut yakni 30 dan
QR = Q3 – Q1
QR = 45 – 30
QR = 15
Sedangkan simpangan kuartilnya yakni:
Qd = ½QR
Qd = ½.15
Qd = 7,5
Jadi, jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data tersebut adalah 15 dan 7,5.



Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yang ditentukan oleh rumus berikut.
simpangan baku
Contoh Soal 1 :

Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data berikut:

165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.

Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.

Kunci Jawaban :
menghitung simpangan baku
Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.

Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan, dapat dinyatakan oleh x1, x2, …, xn dan masing-masing data mempunyai frekuensi f1, f2, …, fn. Simpangan baku (S) dari data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus :
simpangan baku data kelompok
Contoh Soal 2 :

Hitunglah simpangan baku dari nilai ulangan Fisika dari 71 siswa kelas XI SMA Merdeka sesuai Tabel 1.

Jawaban :

Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh µ = 65,7.

xi
fi
xi - µ
(xi - µ)2
Σfi (xi - µ)2
42
3
–23,7
561,69
1.685,07
47
4
–18,7
349,69
1.398,76
52
6
–13,7
187,69
1.126,14
57
8
– 8,7
75,69
605,52
62
10
–3,7
13,69
136,9
67
11
1,3
1,69
18,59
72
15
6,3
39,69
595,35
77
6
11,3
127,69
766,14
82
4
16,3
265,69
1.062,76
87
2
21,3
453,69
907,38
92
2
26,3
691,69
1.383,38

Σf= 60


Σfi (xi - µ)= 9.685,99

Jadi, simpangan bakunya σ :
simpangan baku sampel



Contoh Soal 1 :

Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut :

12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11

Pembahasan :
simpangan rata-rata dari data kuantitatif

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.

Coba Anda tentukan simpangan rata-rata tersebut dengan menggunakan kalkulator. Apakah hasilnya sama?

Untuk sekumpulan data yang dinyatakan oleh x1, x2, …, xn dan masing-masing nilai data tersebut mempunyai frekuensi f1 , f2 , …, fn diperoleh nilai simpangan rata-rata (SR) dengan menggunakan rumus:
simpangan rata-rata data kelompok
Contoh Soal 2 :

Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka seperti Tabel 1. 

Tabel 1. Nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka

Interval Kelas
Frekuensi
40 – 44
3
45 – 49
4
50 – 54
6
55 – 59
8
60 – 64
10
65 – 69
11
70 – 74
15
75 – 79
6
80 – 84
4
85 – 89
2
90 – 94
2

Penyelesaian :

Dari tabel tersebut, diperoleh  = 65,7 (dibulatkan).

Kelas
Interval
Nilai Tengah (xi)
fi
|x – x|
fi |x – x|
40 – 44
42
3
23,7
71,1
45 – 49
47
4
18,7
74,8
50 – 54
52
6
13,7
82,2
55 – 59
57
8
8,7
69,6
60 – 64
62
10
3,7
37
65 – 69
67
11
1,3
14,3
70 – 74
72
15
6,3
94,5
75 – 79
77
6
11,3
67,8
80 – 84
82
4
16,3
65,2
85 – 89
87
2
21,3
42,6
90 – 94
92
2
26,3
52,6


Σf= 71

Σfi |x – x| = 671,7

Jadi, simpangan rata-rata (SR) = 671,7 / 71 = 9,46.



Contoh soal :

1.) Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data berikut:

165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.

Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.

Kunci Jawaban :
menghitung simpangan baku
v = S2 = (5,83)2 = 33,99.

7 comments:

  1. sangat membantu. terima kasih

    ReplyDelete
  2. Soal yang untuk modus apa tidak salah? Kok bisaa frekuensi 15?pdahal tertulis 6 mohon bantuan nya

    ReplyDelete
  3. Terbuka diskusi untuk statistik terapan yang bermanfaat untuk penelitian ilmiah, silahkan kunjungi website Riads Solution Statistics Research & Information Technology Consulting | www.riadsolution.com

    ReplyDelete
  4. kayaknya ada yang salah tapi sangat membantu saya
    thank's

    ReplyDelete
  5. soal modus, kayaknya ada yang keliru di tabelnya deh. tolong direvisi kak biar gak dosa jariyah hehehe...

    ReplyDelete
  6. bagus ka, saran aja sih bentuk soalnya agar bisa dibuat lebih beragam lagi

    ReplyDelete