Wednesday, June 10, 2015

Bab IV Turunan



Turunan



Turunan Matematika adalah
Misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :

Rumus Turunan dan contoh
Jika  dengan C dan n konstanta real, maka : 
Jika y = C dengan 
Jika y = f(x) + g(x) maka  
Jika y = f(x).g(x) maka 


 


Rumus Turunan Trigonometri adalah :





Contoh Soal :
  1. Tentukan turunan pertama dari y = sin 4x + cos 6x.

    Pembahasan :
    y' =dy=d (sin 4x + cos 6x)
    dxdx
    y' = 4 cos 4x − 6 sin 6x.

  2. Tentukan turunan pertama dari y = 6 sin 2x − 4 cos x.

    Pembahasan :
    y' =dy=d (6 sin 2x − 4 cos x)
    dxdx
    y' = 12 cos 2x − (-4 sin x)
    y' = 12 cos 2x + 4 sin x


  3. Jika y = 3x4 + sin 2x + cos 3x, maka tentukan turunan pertamanya.

    Pembahasan :
    y' =dy=d (3x4 + sin 2x + cos 3x)
    dxdx
    y' = 12 x3 + 2 cos 2x − 3 sin 3x.

  4. Jika f(x) = sin x cos 3x, maka tentukan f '(π6).

    Pembahasan :
    Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
    ⇒ u(x) = sin x, maka  u'(x) = cos x
    ⇒ v(x) = cos 3x, maka v'(x) = -3 sin 3x.

    Maka turunan pertamanya adalah :
    f '(x) =dy= u'(x).v(x) + u(x).v'(x)
    dx
    f '(x) = cos x (cos 3x) + sin x (-3 sin 3x)
    f '(x) = cos x. cos 3x − 3 sin x. sin 3x
    f '(π6) = cos (π6). cos 3(π6) − 3 sin (π6). sin 3(π6)
    f '(π6) = {½√3 (0)} − {3 (½) (1)}
    f '(π6) = 0 − 32
    f '(π6) = -32

  5. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :
    y =1 + cos x
    sin x

    Pembahasan :
    Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :
    ⇒ u(x) = 1 + cos x, maka  u'(x) = -sin x
    ⇒ v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x.

    Maka turunan pertamanya adalah :
    y' =dy=u'(x).v(x) − u(x).v'(x)
    dxv2(x)
    y' =-sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x)
    sin2 x
    y' =-sin2 x − cos2 x − cos x
    sin2 x
    y' =-(sin2 x + cos2 x) − cos x
    sin2 x
    y' =-(1) − cos x
    1 − cos2 x
    y' =-(1 + cos x)
    (1 − cos x).(1 + cos x)
    y' =-1
    1 − cos x
    y' =1
    cos x − 1


Turunan Kedua
Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan  . Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
Contoh :

Sifat Sifat Turunan

Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.

Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku
1. f(x) = u + v maka f '(x) = u' + v'
2. f(x) = u - v maka f '(x) = u'-v'
3. f(x) = c.u maka f '(x)=c.u'
4. f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv'

5.  maka 


Bukti :
Sifat 1
f(x) = u(x) + v(x)

    


   

   

  

        

f '(x) = u'(x) + v'(x) 


Sifat 2 :

 f(x) = u(x) - v(x)

  


     

    

    

         

f '(x) = u'(x) - v'(x)


Sifat 3 :
f(x) = c.u(x) maka f '(x)=c.u'(x)

    

      

    

    
 f '(x)=c.u'(x)


Sifat 4 :
 f(x) = u(x).v(x) maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)


    

      

    

    

    

      

     

 

Sifat 5

 

Karena
 
 maka

 

sehingga

 

 


 

 
Jika pembilang dan penyebut dikalikan dengan v(x) maka diperoleh

 

Contoh Soal :

  1. Jika f(x) = (2x – 1)2 (x + 2), maka f(x) = …
    A. 4(2x – 1)(x + 3)
    B. 2(2x – 1)(5x + 6)
    C. (2x – 1)(6x + 5)
    D. (2x – 1)(6x + 11)
    E. (2x – 1)(6x + 7)
    PEMBAHASAN :
    INGAT : f(x) = u.v
    f'(x) = u’v + uv’
    misal : u(x) = (2x – 1)2 \Rightarrow u'(x) = 2(2x – 1)(2)
    v(x) = x + 2 \Rightarrow v'(x) = 1
    f'(x) = (4(2x – 1))(x + 2) + ((2x – 1)2)(1)
    = (8x – 4)(x + 2) + (2x – 1)2
    = 8x2 + 12x – 8 + 4x2 – 4x + 1
    = 12x2 + 8x – 7
    = (2x – 1)(6x + 7)
    JAWABAN : E
  2. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = \sqrt{3x^2+5}adalah f (x), maka f(x) = …
    A. \frac{3x}{\sqrt{3x^2+5}}
    B. \frac{3}{\sqrt{3x^2+5}}
    C. \frac{6}{\sqrt{3x^2+5}}
    D. \frac{x}{\sqrt{3x^2+5}}
    E. \frac{6x}{\sqrt{3x^2+5}}
    PEMBAHASAN :
    \dfrac{f(x)}{dx} = \dfrac{\sqrt{3x^2+5}}{dx}
    \dfrac{(3x^2 + 5)^{1/2}}{dx}
    \dfrac{1}{2} (3x^2 + 5)^{-1/2} \dfrac{3x^2}{dx}
    \dfrac{1}{2} (3x^2 + 5)^{-1/2} 6x
    \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2+5}}
    JAWABAN : A
  3. Diketahui f(x) = \sqrt{4x^2+9}, Jika f(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka nilai f(2) = …
    A. 0,1
    B. 1,6
    C. 2,5
    D. 5,0
    E. 7,0
    PEMBAHASAN :
    f(x) = \sqrt{4x^2+9}
    = (4x2+9)1/2
    f'(x) = 1/2 (4x2+9)-1/2 (8x)
    = 4x (4x2+9)-1/2
    \frac{4x}{\sqrt{4x^2+9}}
    f'(2) = \frac{4(2)}{\sqrt{4(2)^2+9}}
    \frac{8}{\sqrt{25}}
    = 1.6
    JAWABAN : B
  4. Diketahui f(x) = \frac{2x+4}{1+\sqrt{x}} . Nilai f(4) = …
    A. 1/3
    B. 3/7
    C. 3/5
    D. 1
    E. 4
    PEMBAHASAN :
    f(x) = \frac{u}{v}
    f'(x) = \frac{u'.v-u.v'}{v^2}
    misal : u(x) = 2x + 4 \Rightarrow u'(x) = 2
    v(x) = 1 + \sqrt{x} \Rightarrow v'(x) = 1/2 x-1/2
    f'(x) = \frac{(2)(1+\sqrt{x})-(2x+4)(1/2.x^{-1/2})}{(1+\sqrt{x})^2}
    f'(4) = \frac{2(1+\sqrt{4})-(2(4)+4)(1/2.(4)^{-1/2})}{(1+\sqrt{4})^2}
    \frac{2(1+(2))-(8+4)(1/2.(1/2))}{(1+2)^2}
    \frac{2(3)-(12)(1/4)}{(3)^2}
    \frac{6-3}{9}
    \frac{3}{9}  = \frac{1}{3}



Persamaan Garis Singgung Kurva

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :
  • gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m
  • gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b
  • gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari gradien garisnya                            m=(y2-y1)/(x2-x1)
Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :
  • jika saling sejajar maka m1=m2
  • jika saling tegak lurus maka m1.m2=-1 atau m1=-1/(m2)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).
Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan
y-y1=m(x-x1)
Persamaan garis singgung
Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan
Screenshot_9
Contoh soal :

  1. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm2. Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah … cm.
    A. 6
    B. 8
    C. 10
    D. 12
    E. 16
    PEMBAHASAN :
    misal kita anggap tinggi kotak adalah t dan panjang sisi alas adalah s.
    Luas kotak tanpa tutup = Luas alas (persegi) + (4 x luas sisi)
    432 = s2 + (4.s.t)
    432 = s2 + 4ts
    Karena yang diminta dalam soal adalah panjang sisi persegi, maka kita buat persamaan dalam variable s.
    432 – s2 = 4ts
    108/s – s/4 = t
    Volume = v(x) = s2t
    = s2(108/s – s/4)
    = 108s – s3/4
    Agar volume kotak maksimum maka :
    v'(x) = 0
    108 – 3s2/4 = 0
    108 = 3s2/4
    144 = s2
    12 = s
    JAWABAN : D
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?
Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15
3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 7x2 + 20  di titik yang berabsis 2 ?
Jawab :
x = 2
y = x4 – 7x2 + 20 = y = 24 – 7.22 + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x3 – 14 x = 4.23 – 14.2 = 32 – 28 = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x
4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 ?
Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x3 + 10 = 18
x3 = 8
x = 2
m = y’ = 3x2 = 3.22 = 12
Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y1 = m(x – x1)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16
5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x4 – 5x2 + 10 di titik yang berordinat 6 adalah
Jawab :
ordinat = 6
x4 – 5x2 + 10 = 6
x4 – 5x2 + 4 = 0
(x2 – 1)(x2 – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2
untuk x = -1
m = 4x3 – 10x = -4 + 10 = 6
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12
Untuk x = 1
m = 4x3 – 10x = 4 – 10 = -6
y – y1 = m(x – x1)
y –  6 = -6(x – 1)
y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12
Untuk x = -2
m = 4x3 – 10x = 4(-2)3 – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18
Untuk x = 2
m = 4x3 – 10x = 4.23 – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y1 = m(x – x1)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18
Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan y = 12x – 18
6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x4 – 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah
Jawab :
y = 3x4 – 20
y’ = 12x3
Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradien garis ini adalah m1 = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m2) adalah
m2 = m1 = 12
gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y’ = 12
12x3 = 12
x3 = 1
x = 1
maka y = 3x4 – 20 = 3 – 20 = – 17
Persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y + 17 = 12(x – 1)
y + 17 = 12x – 12
y = 12x – 29
7. Garis yang menyinggung kurva y = 12  – x4  dan tegak lurus dengan x – 32y = 48 mempunyai persamaan ….
Jawab :
y = 12  – x4
y’ = – 4x3
Sedangkan
x – 32y = 48
32y = x – 48
Screenshot_20
Garis ini memiliki gradien m1=1/32
Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka
m1.m2 = -1
(1/32)m2=-1
m2= -32
m2 ini adalah gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y’ = -32
– 4x3 = -32
x3 = 8
x = 2
y = 12  – x4 = 12-24 = -4
maka persamaan garis singgungnya
y – y1 = m(x – x1)
y + 4 = -32(x – 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60
Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Tentunya kalian masih ingat dengan topik sebelumnya tentang menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Pada topik ini, kalian akan belajar tentang penggunaan turunan dalam menentukan nilai maksimum dan nilai minimum.

Definisi 1 :
Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan x = c merupakan anggota Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :
  1. f(c) adalah nilai maksimum fungsi f pada Df jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di Df
  2. f(c) adalah nilai minimum fungsi f pada Df jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di Df
  3. f(c) adalah nilai ekstrim fungsi f pada Df jika f(c) adalah nilai maksimum atau minimum fungsi f di Df

Definisi 2 :
Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan interval (a,b) merupakan himpunan bagian dari Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :
  1. f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang memuat c jika f(c)adalah nilai maksimum fungsi f pada (a,b)
  2. f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang memuat c jika f(c)adalah nilai minimum fungsi f pada (a,b)
  3. f(c) adalah nilai ekstrim lokal fungsi f jika f(c) adalah nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal fungsi f[/important

Lalu, kapan terjadi nilai ekstrim lokal?

Kalian dapat menggunakan uji turunan pertama untuk menentukan nilai ekstrim lokal.
Jika fungsi f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat x = c, maka berlaku hubungan sebagai berikut :
  1. Jika f'(x) > 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) < 0 untuk semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal f
  2. Jika f'(x) < 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) > 0 untuk semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai minimum lokal f
  3. Jika f'(x) pada selang (a,c) dan (c,b), maka f(c) bukan merupakan nilai ekstrim lokal f

Agar lebih jelas, mari perhatikan gambar di bawah ini.
Masalah Maksimum dan Minimum
Masalah Maksimum dan Minimum
Masalah Maksimum dan Minimum

Apakah kalian sudah paham? Mari kita cermati beberapa contoh berikut ini.

Contoh 1:
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x2 - x jika Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2} !
Penyelesaian :
Jika kita perhatikan, ternyata x = ¼ merupakan anggota Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2 }. Dengan demikian, untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f pada Df, kita perlu mengetahui nilai f untuk x = -1 , x = ¼, dan x = 2.
Masalah Maksimum dan Minimum
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum dari 
f(x) = 2x2 – x dengan Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2 } berturut-turut adalah f(2) = 6 dan f( ¼ ) = - 1/8.

Contoh 2 :
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 3x2 - 2x + 1 jika Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 } !
Penyelesaian :
Oleh karena x = 1/3 bukan merupakan anggota Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 }, maka untuk menentukan nilai minimum dan nilai maksimum untuk fungsi f, kita cukup mengetahui nilai f untuk x = 1 dan x = 4.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum dari 
f(x) = 3x2 – 2x + 1 dengan Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 } berturut-turut adalah f(4) = 41 dan f(1) = 2.

Contoh 3 :
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = (x + 4)2 jika Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 } !
Penyelesaian :
Oleh karena x = -4 merupakan batas kiri dari Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 }, maka untuk menentukan nilai minimum dan nilai maksimum untuk fungsi f, kita cukup mengetahui nilai f untuk x = -4 dan x = 0.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum dari 
f(x) = (x + 4)2 dengan Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 } berturut-turut adalah f(0) = 16 dan f(-4) = 0.




8 comments:

  1. Ini sangat membantu....
    Terimakasi atas materinya.

    ReplyDelete
  2. terima kasih atas ilmunya... sangat membantu untuk belajar sendiri

    ReplyDelete
  3. kak mau tentukan interval fungsi naik daan fungsi turun dari x pangkat 3 ditambah 6 x pangkat 2 dikurangi 15 x ditambah 10

    ReplyDelete